185 centimetrov vysoký útočník nebol nikdy draftovaný a do National Hockey League sa prebojoval vďaka dobrým výkonom v nižších zámorských súťažiach. 8. novembra 2005 sa upísal Vancouveru Canucks a v organizácii „kosatiek“ pôsobí dodnes. Burrows je veľmi kvalitným útočníkom, ktorý má potenciál zbierať dostatočné množstvo bodov, no v posledných sezónach mu to príliš nejde. Okrem iného má častokrát „opletačky“ s disciplinárkou National Hockey League či fanúšikmi Nucks. Burrows sa však v posledných sezónach na ľade viac upokojil, v minulosti zbieral oveľa vyšší počet trestných minút, keď v ročníku 2007/2008 si utvoril osobný rekord so 179 trestnými minútami.