Kariéra Róberta Dömeho bola a je obrovským sklamaním. Odchovanec Trenčína mohol rozšíriť zoznam úspešných hráčov vychovaných týmto klubom, no nikdy sa tak nestalo. Rodák zo Senice bol draftovaný v roku 1997 v prvom kole z celkovej 17. pozície. Vo výbere nováčikov si ho vybrali predstavitelia Pittsburghu Penguins, ktorí v ňom videli nové ofenzívne eso svojej zostavy. Döme po slabšom štarte v IHL dostal priestor v American Hockey League, kde pomaly začínal napĺňať svoj potenciál. V prvom tíme „Pens“ sa však nikdy nedokázal presadiť. Sezónu 2000/2001 strávil v Česku, po roku sa vrátil za more, kde pôsobil ešte tri sezóny. Počas nich odohral v NHL len jeden zápas, keď si na seba obliekol dres Calgary Flames. Od ročníka 2004/2005 Döme pôsobil len v Európe. Vystriedal švédsku a nemeckú ligu až napokon zakotvil v metropole svojej rodnej krajiny. Profesionálnu kariéru ukončil v sezóne 2009/2010 ako hráč rodnej Senice. Z hráča, ktorý bol porovnávaný s Jaromírom Jágrom, sa stal draftový prepadák. Za hokejovou oponou sa ozývali hlasy, že mladého hráča zbrzdilo v rozlete úmrtie rodičov, niektorí zas tvrdia, že sa o svoju veľkolepú šancu stať sa hviezdou, pripravil sám zlou životosprávou.