Esposito sa narodil do futbalovej rodiny, keďže jeho otec hrával v akadémií Neapolu a brat Salvatore (19) je hráčom Chievo Verona. Najviac talentu však zdá sa dostal do vienka práve sedemnásťročný útočník, ktorý sa aktívne prediera na trávnik v drese Interu Miláno. Bojovný hrotový útočník sa ako odchovanec Interu dostal k prvému tímu po príchode Antonia Conteho, ktorý mladíka poctivo formuje a ponúka mu aj herné skúsenosti v Serii A či v Lige majstrov. Gólový debut v talianskej najvyššej súťaži má Esposito už za sebou, pričom v kádri sa môže učiť od mien ako Lukaku, Martínez či Alexis.